Funciones Exponenciales

    Una función exponencial con base b es una función de la forma f(x) = b^x , donde b  y  x son números reales tal que b > 0  y  b es diferente de uno.

    El dominio  es el conjunto de todos los números reales y el recorrido es el conjunto de todos los números reales positivos.

    Una función exponencial es una función de la forma

f(x) = Ab^x,

en la que A y b son constantes (b > 0). A b se le llama la base de la función exponencial.

Representación gráfica de la función exponencial

    Observando las propiedades antes descritas para una función exponencial, se han de distinguir dos casos para hacer la representación de una función y = a^x:

A) a > 1

En este caso, para x = 0, y = a° = 1

para x = 1, y = a¹ = a

para cualquier x, la función es creciente y siempre positiva.

Como caso particular se representa la función y = 2^x.

B) a < 1

Para x = 0, y = a° = 1

Para x = 1, y = a¹ = a

Para cualquier x la función es decreciente y siempre positiva.

Como caso particular se representa la función y = (1/2)^x.

Las Leyes de los exponentes de una función exponencial

    Si b y c son positivas, y si x, y son números reales cualesquiera, se cumplen las siguientes leyes:

Función exponencial según el valor de la base.

- Si 0 < a < 1,  entonces f(x) = a^x es decreciente, puesto que la base es una fracción positiva o decimal menor que 1. Luego si el exponente aumenta, entonces el valor de a^x disminuye.

Por ejemplo: Para la función y = 0,2^x
Si x = 2, entonces y = 0,2² = 0,04
Si x = 3, entonces y = 0,2³ = 0,08. Y así sucesivamente, su valor es cada vez más pequeño.

- Si a > 1  entonces  f(x) = a^x es creciente, puesto que la base es un número positivo mayor que 1. Luego, si el exponente aumenta, entonces el valor de a^x también aumenta.

Por ejemplo: Para la función y = 5^x
Si x = 2, entonces y = 5² = 25
Si x = 3, entonces y = 5³ = 125. Y así sucesivamente, su valor es cada vez más grande.

- La base no puede ser igual a 0 porque cualquier número exponencial de base cero es igual a 1, resultando la función y = 1^x , la cual no tendría sentido, debido a que su valor es constantemente igual a 1, con lo que gráficamente es una función constante y = 1 (recta paralela al eje X en el punto y = 1).

- La base no puede ser negativa porque el valor de la función será positivo si x es par y negativo si el exponente es impar. Además, si x es una fracción como ½, entonces la función no tiene imagen en los reales.

Por ejemplo: Para la función y = (-3)^x
Si x = 2, entonces y = 9
Si x = 3, entonces su imagen es -27
Si x = ½ entonces (-3)^1/2 es igual a la raíz cuadrada de -3, cuyo valor no es real.

A continuación se compartirán algunos videos sobre Graficas de Funciones Exponenciales:  

Se obtendrá la forma de la 
gráfica de una función exponencial con base b > 1, 
señalando las características más importantes de la 
función.

 . En base a esta gráfica se puede deducir la gráfica de la función exponencial con base b entre 0 y 1, sin necesidad de una tabla de valores. Se señala las características más importante de esta función exponencial.

Esta entrada es un resumen de varias fuentes del tema tratado, el cual es Funciones exponenciales.

Para indagar mas acerca de esta función u otras funciones de este conjunto puede visitar el siguiente link:

Resumen del Tema: Funciones no lineales

    Esta es una de muchas paginas donde podrás encontrar bastante información completa acerca de las funciones, ejemplos y gráficas. En internet hay muchos otros espacios con información importante.